Förklara derivatan uppgift Deriveringsregler för cosinus och sinus. För funktioner som innehåller sinus, cosinus och tangens gäller att att de har följande derivator. y = sinx har derivatan y′ = cosx. y = cosx har derivatan y′ = −sinx. $ y = \tan x $ har derivatan $ y´=\frac {1} {\cos^2x} $. 1 derivatans definition 2 Då ersätter man punkten a med variabeln x. Derivatan blir då i sig en funktion i samma definitionsmängd. Men innan vi börjar kolla på deriveringsreglerna tar vi en repetition av funktionsbegreppet. Mer om funktionsbegreppet i Matte 1 och Matte 2. Funktionsbegreppet är centralt för derivatan. 3 derivata formel 4 (NKP MaC vt, uppgift 11) En kompis till dig, som läser samma mattekurs som du, kommer fram till dig och säger ”Jag fattar inte ett dugg av det här med derivata”. Hjälp din kompis genom att förklara vad derivata är. Förklara så utförligt du kan och på så många sätt du kan. Du ska inte härleda eller beskriva deriveringsreglerna. 5 Derivatan för denna tredjegradsfunktion är känd: $$\\f'(x)=3x^{2}-6x$$ Vi identifierar x-värdena för möjliga extrempunkter genom att sätta derivatan lika med noll och sedan lösa ekvationen som uppkommer: $$0=3x^{2}-6x\Rightarrow x_{1}=0,\: x_{2}=2$$ Eftersom vi hittade två x-värden, finns det två möjliga extrempunkter att undersöka. 6 Så bestämmer du tangentens lutning med derivatan. Resonemanget här ovan är alltså till för att förklara kopplingen mellan derivatan och tangenten. Låt oss nu ta ett konkret exempel för att fördjupa detta resonemang. 7 derivata regler 8 Om exempelvis hastigheten för en bil beskrivs av funktionen $f\left(x\right)$ så motsvarar derivatan hur snabbt hastigheten förändras. 9 I den här lektionen förklarar vi vad derivata är och hur derivatans definition fungerar för att ta fram derivatan. 10